这是一个数字事实，实际上，它只是一个与数学法则有关的简单事实，因为九头蛇游戏确实也只是一个算术练习而已。

    我们使用示意图来演示会发生的情况，但它们都不是必需的；整个游戏完全可以利用含有许多数字的数学方式表达出来。

     海格力斯最终会胜利吗？ 而更加惊人的事实是，尽管海格力斯总会取得胜利，但我们无法证明海格力斯总会取得胜利。

    “无法证明”意味着“无法用标准的数学公理来证明”，而标准的数学公理就是我们在前面提到的皮亚诺公理。

     如果海格力斯的无敌性无法被证明，那么我们怎么知道这是正确的呢？当然，这是因为这已经被证明，只不过这种证明使用了皮亚诺公理列表之外的公理。

    这个公理便是我之前所说的“超级公理”：数学法则是具有一致性的。

    （也就是说，皮亚诺公理不可能推导出矛盾的结果。

    ）① 有个更简单的办法来证明海格力斯总会胜利。

    只要引入一条专门的“海格力斯公理”，其内容就是“海格力斯总会胜利”。

    这让对此命题的证明只需要一行字：“海格力斯总会胜利，因为这是一个公理”。

    从逻辑上看，这似乎无懈可击，但它永远无法说服任何人、无法说明任何事情。

    这种无中生有的臆造公理并不会具有本质上的正确性。

     但是这样的说法的确是正确的：海格力斯要么总不能取得胜利，要么总能取得胜利。

    而且差不多每个人，也就是每个关注这些事情的人不可否认的是，他们只是“每个人”当中非常小的一部分相信事实上他总会取得胜利。

    他们相信这一点，因为有关的证明并不基于所谓的“海格力斯公理”，而是基于“超级公理”，而且“超级公理”可不是无中生有臆造出来的。

    “超级公理”不需要证明就是正确的。

     什么使得“超级公理”不证自明呢？唯一的原因便是：我们认识到数学公理是实实在在存在的。

    一个随意的公理列表很可能就是前后不一致的，但数学公理则不是随机的。

    它们描述了真实存在的事物，即自然数体系。

    正因为如此，我们知道它们是具有内部一致性的；换句话说，也正因为如此，我们知道“超级公理”是正确的。

     如果某一天有人发现一个无法被海格力斯打败的九头蛇，我们就得知“超级公理”是错误的，所以我们会得知数学公理是前后不一致的，自然数也不存在。

    但那种情况的可能性有多大？或许又是“kanoogol”分之一吧！ 不完备的人类思维（1） 不完备的人类思维：计算机与人类，谁更聪明？ 如果我们非要用数学方法来证明的话，那些真正已经触及或可能触及人类心灵的问题并不会像回答“人们跳跃的安全高度是多少”、“一个人在5分钟内能吃多少热狗”、“一个人可以记住圆周率小数点后多少位”、“人类目前可以到达太空多少公里”等问题那样简单。

     它们会更像“一个人在5分钟内能吃多少热狗且不会让自己感到恶心”之类的问题，它们是在不同的时代、不同的社会中由不同的人得到不同的答案的问题。

     托克尔·弗兰岑 哥德尔不完备性定理居然戏剧性地被用来“启发”出了两种对立的、持久的错误论调。

    它既被引用来“证明”人类的思维比你所期待的更狭窄，也被引用来“证明”人类的思维比你所期待的更宽广。

     第一种错误论调似乎主要是受人们对“不完备性”这个词过于宽泛的解释而“启发”出的，认为“哥德尔证明了一切形式的推理都是很不充分的”。

     但事实上，哥德尔只证明了：第一，就像我们所看到的那样，无论你选择哪一个（正确的）数学公理，都会有很多（正确的）命题是无法被你证明的。

    第二，数学本身不能用来证明自身的内部一致性。

     这是因为公理系统的力量存在着明显的局限性。

    但这种局限性并不会影响到人类大脑的思维能力，因为人类的思维本身并不是公理系统。

    我们总靠类比和比喻来思考，我们总以直觉和本能为指导，我们一边前进一边改变规则。

    人类的思维充满了偶然性的混杂，这导致我们经常犯错误，但正是因为这样，人类的思维完全不受哥德尔不完备性定理的约束。

     对第一种错误论调只说这么多就够了。

    第二种错误论调就更有趣了。

     第二种论调是这样的：一台基于数学公理（所谓皮亚诺公理）运行的计算机，无法证明海格力斯可以击败九头蛇。

    ①但是，因为我们都知道数学是具有一致性的，所以你和我都知道海格力斯是可以击败九头蛇的。

    因此，你和我都知道那些连计算机都证明不了的东西。

    所以，你和我的大脑比任何计算机都强大。

     当我还是个孩子的时候