1+2k^2)x^2-(4k^2-2k)x+(2k^2-2k-\frac{3}{2})=0(1+2k2)x2?(4k2?2k)x+(2k2?2k?23)=0
利用韦达定理xA+xB=4k2?2k1+2k2x_A+x_B=\frac{4k^2-2k}{1+2k^2}xA+xB=1+2k24k2?2k。
因为P是AB中点，所以xP=xA+xB2=1x_P=\frac{x_A+x_B}{2}=1xP=2xA+xB=1。
4k2?2k2(1+2k2)=1\frac{4k^2-2k}{2(1+2k^2)}=12(1+2k2)4k2?2k=1
解这个关于k的方程，得到k=?1k=-1k=?1。
“第二问，k=-1，也解决了！”秦风的嘴角不自觉地勾起一抹笑容。
这种攻克难题的快感，是他以前从未体验过的！
真正的挑战，是第三问。
“第三问，在第二问的条件下，过点P作直线m垂直于l，交椭圆C于M,N两点。
试问是否存在一个常数λ，使得|PM|·|PN|=λ|PA|·|PB|恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由。
”
这一问，涉及弦长公式、向量模长、以及恒成立问题，计算量和思维难度都陡然提升了好几个档次。
秦风的眉头微微蹙起。
他能感觉到，这一问的难度，已经超出了他刚刚强行记忆下来的那些“套路”所能直接解决的范畴。
它需要更深层次的理解和更灵活的运用。
“冷静……仔细分析……”秦风闭上眼睛，脑海中刚刚“吞”下去的无数知识点如同星辰般闪耀。
直线l的斜率为-1，则直线m的斜率为1。
直线m的方程为y?12=1(x?1)y-\frac{1}{2}=1(x-1)y?21=1(x?1)，即y=x?12y=x-\frac{1}{2}y=x?21。
将直线m的方程代入椭圆方程x22+y2=1\frac{x^2}{2}+y^2=12x2+y2=1，得到关于x的一元二次方程：
x22+(x?12)2=1\frac{x^2}{2}+(x-\frac{1}{2})^2=12x2+(x?21)2=1
x22+x2?x+14=1\frac{x^2}{2}+x^2-x+\frac{1}{4}=12x2+x2?x+41=1
32x2?x?34=0\frac{3}{2}x^2-x-\frac{3}{4}=023x2?x?43=0
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6x2?4x?3=06x^2-4x-3=06x2?4x?3=0
设M(x?,y?)，N(x?,y?)，则x1+x2=46=23x_1+x_2=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}x1+x2=64=32，x1x2=?36=?12x_1x_2=-\frac{3}{6}=-\frac{1}{2}x1x2=?63=?21。
∣PM∣?∣PN∣=(x1?xP)2+(y1?yP)2?(x2?xP)2+(y2?yP)2|PM|\cdot|PN|=\sqrt{(x_1-x_P)^2+(y_1-y_P)^2}\cdot\sqrt{(x_2-x_P)^2+(y_2-y_P)^2}∣PM∣?∣PN∣=(x1?xP)2+(y1?yP)2?(x2?xP)2+(y2?yP)2
由于点M,N在直线y=x?12y=x-\frac{1}{2}y=x?21上，且P(1,1/2)也在这条直线上（因为直线m过P点），所以PM和PN的表达式可以简化。
实际上，P是弦MN上的一个定点。
∣PM∣?∣PN∣=∣(x1?xP)(x2?xP)∣?(1+km2)|PM|\cdot|PN|=|(x_1-x_P)(x_2-x_P)|\cdot(1+k_m^2)∣PM∣?∣PN∣=∣(x1?xP)(x2?xP)∣?(1+km2)，这里km=1k_m=1km=1。
∣PM∣?∣PN∣=∣x1x2?xP(x1+x2)+xP2∣?(1+12)|PM|\cdot|PN|=|x_1x_2-x_P(x_1+x_2)+x_P^2|\cdot(1+1^2)∣PM∣?∣PN∣=∣x1x2?xP(x1+x2)+xP2∣?(1+12)
∣PM∣?∣PN∣=∣?12?1(23)+12∣?2=∣?12?23+1∣?2=∣?3+4?66∣?2=∣?16∣?2=13|PM|\cdot|PN|=|-\frac{1}{2}-1(\frac{2}{3})+1^2|\cdot2=|-\frac{1}{2}-\frac{2}{3}+1|\cdot2=|-\frac{3+4-6}{6}|\cdot2=|-\frac{1}{6}|\cdot2=\frac{1}{3}∣PM∣?∣PN∣=∣?21?1(32)+12∣?2=∣?21?32+1∣?2=∣?63+4?6∣?2=∣?61∣?2=31。
这个计算过程，秦风写得极为流畅。
接下来是计算|PA|·|PB|。
直线l的方程为y?12=?1(x?1)y-\frac{1}{2}=-1(x-1)y?21=?1(x?1)，即y=?x+32y=-x+\frac{3}{2}y=?x+23。
代入椭圆方程x22+y2=1\frac{x^2}{2}+y^2=12x2+y2=1：
x22+(?x+32)2=1\frac{x^2}{2}+(-x+\frac{3}{2})^2=12x2+(?x+23)2=1
x22+x2?3x+94=1\frac{x^2}{2}+x^2-3x+\frac{9}{4}=12x2+x2?3x+49=1
32x2?3x+54=0\frac{3}{2}x^2-3x+\frac{5}{4}=023x2?3x+45=0
6x2?12x+5=06x^2-12x+5=06x2?12x+5=0
设A(x?,y?)，B(x?,y?)，则x3+x4=126=2x_3+x_4=\frac{12}{6}=2x3+x4=612=2，x3x4=56x_3x_4=\frac{5}{6}x3x4=65。
同样，P(1,1/2)是弦AB的中点。
∣PA∣?∣PB∣=∣(x3?xP)(x4?xP)∣?(1+kl2)|PA|\cdot|PB|=|(x_3-x_P)(x_4-x_P)|\cdot(1+k_l^2)∣PA∣?∣PB∣=∣(x3